唯一分解定理

算术基本定理可表述为：任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积。N=P1^a1P2^a2P3^a3……Pn^an，这里P1<P2<P3……<Pn均为质数，其中指数ai是正整数。这样的分解称为 N 的标准分解式。算术基本定理是初等数论中一条非常基本和重要的定理，它把对自然数的研究转化为对其最基本的元素——素数的研究。它所体现的唯一因子分解的思想，在现代交换环理论中起着非常重要的作用。唯一因子分解的思想从本质上讲是指以下两种性质：”存在性和唯一性”。所谓“存在性”就是指一个元素可以分解为有限多个不可约因子的乘积；“唯一性”是指这种分解表示在某种意义上来说是唯一的。唯一因子分解的思想最初作为一个自然数的性质而出现，这个性质就是通常所说的算术基本定理。

根据唯一分解定理，可以推导得到：
N的约数个数=(a1+1)*(a2+1)*(a3+1)*…*(an+1)。
N的约数之和=(p1⁰+p1¹+p1²+…+p1^a1)*(p2⁰+p2¹+p2²+…+p2^a2)*(p3⁰+p3¹+p3²+…+p3^a3)*…*(pn⁰+pn¹+pn²+…+pn^an)。